Równania różniczkowe rzędu pierwszego, które sprowadzają się do równań o zmiennych rozdzielonych
Całkowanie równań różniczkowych (RR) rzędu pierwszego wiąże się, na ogół, z przedstawieniem ich w postaci równań o zmiennych rozdzielonych.
1. Równanie postaci
Stosujemy podstawienie \( z=a\,t+b\,x \). Różniczkując \( z \) względem \( t, \) otrzymamy \( z'=a+b\,x' \) i wówczas wyjściowe równanie ma postać
lub, po rozdzieleniu zmiennych,
Całkując powyższe wyrażenie, otrzymamy
Przykład 1:
W tym przypadku \( z=2\,t+x \), \( z'=2+x', \) zaś \( f(z)=z \). Podstawiając to do
powyższego równania, otrzymujemy:
Stąd otrzymujemy rozwiązanie
2. Równania jednorodne. Są to równania, które nie zmieniają kształtu przy transformacjach \( x \to \alpha\,x, t\to\alpha\,t \), gdzie \( \alpha \) jest dowolną stałą nie równą się zeru. Równanie takie może być sprowadzone do postaci
Stosujemy podstawienie \( z=\frac{x}{t} \). Wówczas \( x=z\,t \) i \( x'=t\,z'+z. \) Otrzymamy wtedy
a po rozdzieleniu zmiennych
Całkując stronami, otrzymamy:
Przykład 2:
Zgodnie z powyższym wzorem \( f(z)=z(z+1) \), więc mamy do policzenia całkę
Wracając do zmiennej wyjściowej otrzymamy równość
Wprowadzając dogodną stałą zgodnie ze wzorem \( \tilde{C}=\log\,C \), po elementarnych przekształceniach otrzymujemy rozwiązanie
3. Do jednorodnego równania sprowadza się równanie postaci
Rozpatrzmy najpierw przypadek szczególny
Wprowadzamy podstawienie:
Ponieważ \( x=x(t), \) więc \( p=p(t), \) zatem zmienną \( r \) będziemy traktować jako nową zmienną niezależną, zaś funkcja \( p \) będzie nową zmienną zależną. Zauważmy że zachodzą równości \( d\,t=d\,r, \) oraz \( d\,x=d\,p \). Równanie można zatem przepisać w postaci
gdzie
Przypomnijmy kiedy układ równań liniowych
można rozwiązać względem zmiennych \( \alpha,\,\,\beta \). Postać macierzowa tego układu jest następująca:
Z twierdzenia Cramera wynika, iż układ ma jedno rozwiązanie \( \alpha,\,\,\beta \), o ile
Jeżeli warunek powyższy zachodzi, wówczas możemy w sposób jednoznaczny dobrać stałe \( \alpha,\,\,\beta \) w taki sposób że \( h_1,\,\,h_2 \) znikną. Dzieląc licznik i mianownik prawej strony równania ( 4 ) przez \( r \), otrzymamy wtedy
Jest to jednorodne równanie, które poprzez podstawienie \( z=\frac{p}{r} \) sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych.
Jeżeli \( \det M=a_1\,b_2-a_2\,b_1=0 \), wówczas nie można wyeliminować opisanym wyżej sposobem parametrów \( h_1,\,\,h_2 \). Niemniej jednak ten przypadek również jest całkowalny. Rzeczywiście, równość \( J=0 \) oznacza, że współczynniki są proporcjonalne, tzn. istnieje stała \( k\neq 0 \) taka że \( a_1=k\,a_2 \), \( b_1=k\,b_2 \). A zatem równanie ( 3 ) można przepisać w postaci równania ( 1 )
I tak jak w równaniu ( 1 ) wprowadzamy podstwienie \( z=a_2 t+b_2 x, \) otrzymując równanie
które jest równaniem o zmiennych rozdzielonych.
Przypadek ogólny, czyli równanie ( 2 ), przekształcamy w podobny sposób: jeżeli \( a_1 t+b_1 x\neq k(a_2 t+b_2 x) \), to wówczas przechodzimy do zmiennych \( \xi=t-t_0 \), \( \eta=x-x_0 \), gdzie stałe \( t_0,\,\,x_0 \)
określamy jako rozwiązania układu równań
W wyniku dla funkcji \( \eta(\xi) \) otrzymujemy równanie
jest to równanie jednorodne.
W przypadku gdy \( a_1 t+b_1 x= k(a_2 t+b_2 x) \), równanie ( 2 ) można zapisać jako
Podstawienie \( z=a_2 t+b_2 x \), sprowadza go do równania o zmiennych rozdzielonych:
Uwaga 1:
4. Równania jednorodne uogólnione. Jest to klasa równań, które się nie zmieniają przy jednoczesnym skalowaniu zmiennej zależnej i niezależnej \( t\to\alpha\,t,\,\,\,\,x\to\alpha^k\,x \), gdzie \( 0\neq\alpha,\,\,k \)-stałe. Równania takie można przedstawić w postaci
Podstawienie \( z=x\,t^{-k} \) sprowadza równanie ( 8 ) do równania o zmiennych rozdzielonych: